LOGIKA MATEMATIKA
(Pernyataan dan Bukan Pernyataan, Negasi, Implikasi, Tautologi, Kontradiksi)
A. Pernyataan dan Bukan Pernyataan
1. Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.
Contoh : 3x + 5 = 10
1. Kalimat tertutup ( pernyataan ) adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.
Contoh : 6 + 6 = 12
B. Negasi , Disjungsi , Konjungsi , Implikasi , Biimplikasi
Negasi adalah ingkaran dari suatu pernyataan. jika sutau pernyataan bernila benar , maka ingkarannya bernilai salah, begitu pula jika pernyataan bernilai salah maka ingkarannya bernilai benar. Simbolnya : ~
Disjungsi adalah operasi logika “ atau “ symbol : V, suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata “atau’ akan bernilai salah. jika kedua pernyataanya bernilai salah. Sedangkan lainnya benar.
Konjungsi adalah operasi logika “ dan “ symbol : Λ , suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata “dan” akan bernilai benar. Jika nilai kedua pernyataanya bernilai benar. Sedangkan lainnya salah.
Implikasi adalah operasi logika “ jika … maka…”, symbol : => , Suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan “jika..maka…” akan bernilai salah. jika pernyataan pertama bernilai benar dan pernyataan kedua bernilai salah. Sedang lainnya bernilai benar.
Biimplikasi adalah operasi logika “jika dan hanya jika” atau implikasi dua arah. Symbol “ó” ,Suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh “jika dan hanya jika’ akan bernilai benar jika kedua pernyataanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah.
C. TAUTOLOGI , KONTRADIKSI, NEGASI dari PERNYATAAN
TAUTOLOGI
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (False), tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
NEGASI/INGKARAN
Negasi merupakan operasi logika yang dilambangkan dengan tanda (~). Ingkaran pernyataan p adalah ~p atau dibaca “tidak benar bahwa p” atau “non p” atau “negasi dari p”.
Contoh 1:
p : Sapi makan rumput
~p : Sapi tidak makan rumput
~p : tidak benar bahwa sapi makan rumput
Contoh 2:
P : kemarin tidak ada kecelakaan mobil
~p : kemarin ada kecelakaan mobil
SOAL & PEMBAHASAN
1. Tentukan nilai x agar konjungsi “x2 + 3x – 15 ≥ 0 dan 7 adalah bilangan prima” bernilai benar !
Pembahasan:
Pernyataan “7 adalah bilangan prima” bernilai benar.
Agar konjungsi bernilai benar, maka haruslah x2 + 3x – 15 ≥ 0 bernilai benar.
x2 + 2x – 15 ≥ 0
(x + 5)(x – 3) ≥ 0
x ≤ -5 atau x ≥ 3
Jadi, konjungsi bernilai benar untuk x ≤ -5 atau x ≥ 3
2. Diberikan pernyataan :
"Jika pemimpin jujur maka rakyat tentram "
Buatlah dua buah pernyataan yang setara dengan pernyataan di atas !
Pembahasan:
Pernyataan yang setara dengan sebuah implikasi p → q
(i) dengan menggunakan format rumus p → q setara dengan ~p ∨ q
"Jika pemimpin jujur maka rakyat tentram"
setara dengan
"Pemimpin tidak jujur atau rakyat tentram"
(ii) dengan memakai format rumus p → q setara dengan ~q → ~p
"Jika pemimpin jujur maka rakyat tentram "
setara dengan
"Jika rakyat tidak tentram maka pemimpin tidak jujur"
3. Kontraposisi dari "Jika semua warga negara membayar pajak maka pembangunan berjalan lancar" adalah?
Pembahasan:
p : semua warga negara membayar pajak
q : pembangunan berjalan lancar
Konversnya adalah ~q → ~p yaitu "Jika pembangunan tidak berjalan lancar maka ada warga negara yang tidak membayar pajak"
4. "Jika cuaca mendung maka Ayah membawa payung"
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan di atas!
Pembahasan:
Dari implikasi p → q
p : Cuaca mendung
q : Ayah membawa payung
Konversnya adalah q → p
yaitu "Jika Ayah membawa payung maka cuaca mendung"
Inversnya adalah ~p → ~q
yaitu "Jika cuaca tidak mendung maka Ayah tidak membawa payung"
Kontraposisinya adalah ~q → ~p
yaitu "Jika Ayah tidak membawa payung maka cuaca tidak mendung"
5. Tentukan ingkaran dari pernyataan:
"Jika cuaca cerah maka maka Donni pergi ke kampus"
Pembahasan:
Ingkaran dari sebuah implikasi p → q adalah p dan ~q
~(p → q) ≅ p ∧ ~ q
sehingga ingkaran dari pernyataan di atas adalah "Cuaca cerah dan Donni tidak pergi ke kampus"
6. Tentukan negasi (ingkaran) dari pernyataan-pernyataan berikut:
a) p : Semua dokter memakai baju putih saat bekerja.
b) p : Semua jenis burung bisa terbang
c) p : Semua anak mengikuti ujian fisika hari ini.
Pembahasan:
Pernyataan yang memuat kata "Semua" atau "Setiap" negasinya memuat kata "Beberapa" atau "Ada" seperti berikut:
a) ~p : Ada dokter tidak memakai baju putih saat bekerja.
b) ~p : Beberapa jenis burung tidak bisa terbang
c) ~p : Beberapa anak tidak mengikuti ujian fisika hari ini
7. Premis 1 : Jika Budi rajin berenang maka badannya sehat.
Premis 2 : Budi rajin berenang.
Pembahasan:
Modus Ponens
p → q
p
________
∴ q
Jika Budi rajin berenang maka badannya sehat.
p q
Budi rajin berenang
p
Kesimpulan adalah q : Badan Budi sehat
8. Susunlah konjungsi dari pernyataan p dan q berikut!
p : Hujan mulai reda
q : Ibu pergi ke pasar
Pembahasan:
p˄q : Hujan mulai reda dan Ibu pergi ke pasar.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar