Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan :
1. Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakan didalam sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh : A = {a, i, u, e, o}.
2. Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh : P adalah himpunan bilangan bulat positif dan R adalah himpunan bilangan riil.
3. Notasi pembentukan himpunan, yaitu denganmenuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggota. Contoh : A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat positif}
4. Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta yang digambarkan dengan segi empat.
Macam-Macam Himpunan
1. Himpunan Bilangan Asli
Bilangan asli merupakan bilangan yang sering kita gunakan, seperti untuk menghitung banyaknya pengunjung dalam suatu pertunjukan seni atau banyaknya tamu yang menginap di hotel tertentu. Bilangan asli sering pula disebut sebagai bilangan natural karena secara alamiah kita mulai menghitung dari angka 1, 2, 3, dan seterusnya. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu himpunan bilangan yang disebut sebagai himpunan bilangan asli. Dengan demikian, himpunan bilangan asli didefinisikan sebagai himpunan bilangan yang diawali dengan angka 1 dan bertambah satu-satu.
Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf A dan anggota himpunan dari bilangan asli dinyatakan sebagai berikut.
A = {1, 2, 3, 4, …}.
2. Himpunan Bilangan Cacah
Dalam sebuah survei mengenai hobi siswa di kelas tertentu, diketahui bahwa banyak siswa yang hobi membaca 15 orang, hobi jalan-jalan sebanyak 16 orang, hobi olahraga sebanyak 9 orang dan tidak ada siswa yang memilih hobi menari. Untuk menyatakan banyaknya anggota yang tidak memiliki hobi menari tersebut, digunakan bilangan 0. Gabungan antara himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan 0 ini disebut sebagai himpunan bilangan cacah.
Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf C dan anggota himpunan dari bilangan cacah dinyatakan sebagai berikut:
C = {0, 1, 2, 3, 4,…}.
3. Himpunan Bilangan Bulat
Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota himpunan dari bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut:
B = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.
4. Himpunan Bilangan Rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan p, q ∈ B dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q.
5. Himpunan Bilangan Irasional
Himpunan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan p, q anggota B dan q ≠ 0. Contoh bilangan irasional adalah bilangan desimal yang tidak berulang (tidak berpola), misalnya: 2 , π, e, log 2. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf I.
6. Himpunan Bilangan Riil
Himpunan bilangan riil adalah gabungan antara himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional, yang dilambangkan dengan huruf R.
7. Himpunan Bilangan Imajiner
Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i2 = −1. Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik :
x2 + 1 = 0
atau secara ekuivalen
x2 = -1
atau juga sering dituliskan sebagai
x = √-1
Operasi Antar Himpunan
Operasi antar himpunan adalah operasi matematika yang bisa dilakukan terhadap himpunan. Biasanyaoperasi himpunan ini berlaku antara dua himpunan. Dalam contoh ini menggunakan himpunan A dan himpunan B dimana operasi matematika akan dilakukan terhadap dua himpunan tersebut. Dengan kata lain akan dilakukan operasi matematika antar himpunan A dengan himpunan B.
1. Operasi Gabungan / Union (U),Himpunan A gabung Himpunan B ditulis
AUB= {x | x elemen A atau x elemen B}
Contoh:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
AUB = {1, 2, 3, 4, 5}
2. Operasi Irisan / Intersection (∩),Himpunan A iris Himpunan B ditulis
A∩B = {x | x elemen A danx elemen B}
Contoh:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
A∩B = {3}
SOAL dan PEMBAHASAN :
1. Buatlah diagram venn dari himpunan – himpunan di bawah ini :
S adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 12
P adalah himpunan bilangan ganjil yang kurang dari 10
Q = {x | x < 12, x Îbilangan prima }
Pembahasan :
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
P = { 1, 3, 5, 7, 9 }
Q = { 2, 3, 5, 7, 11}
2. Lihat diagram venn disamping ini :
Tentukan
a. n(T)
b. n(U)
c. n(T n U)
d. n(S)
Pembahasan :
a. n(T) : 10 + 13 = 23
b. n(U) : 13 + 12 = 25
c. n(T n U) : 13
d. n(S) : 10 + 13 + 12 + 5 = 40
3. Buatlah diagram venn dari himpunan-himpunan berikut ini
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A = { 4, 5 }
B = { 1, 3, 6 }
Pembahasan :
4. Banyak siswa dari kelas tersebut adalah 40 orang. Kunci B Dari 25 siswa, 10 orang gemar melukis, 17 orang gemar mengarang, dan 6 orang tidak gemar kedua-duanya.
Jumlah siswa yang gemar kedua-duanya adalah?
Pembahasan :
yang gemar kedua-duanya adalah x, maka bentuk persamaannya adalah
(10 - x) + x + (17 - x) + 6 =25
33-x =25
33-25 =x
x =8
Jadi yang gemar kedua-duanya adalah 8 orang.
BILANGAN
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional dan bilangan kompleks. Bilangan adalah suatu ide yang bersifat abstrak yang akan memberikan keterangan mengenai banyaknya suatu kumpulan benda. Lambang bilangan biasa dinotasikan dalam bentuk tulisan sebagai angka. Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris. Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan dan perakaran.
Macam-Macam Bilangan
1. Bilangan Asli
Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}.
2. Bilangan Prima
Dalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.
3. Bilangan Cacah
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif. Bilangan cacah juga merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
Contoh: 0,1,2,3,4,5,6,7,….
4. Bilangan Bulat
1. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif.
2. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat:
a) Sifat tertutup
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.
b) Sifat komutatif
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.
c) Sifat asosiatif
Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).
d) Mempunyai unsur identitas
Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.
e) Mempunyai invers
Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.
3. Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b).
4. Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.
5. Jika p dan q bilangan bulat maka
p x q = pq;
6. Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat
a. tertutup terhadap operasi perkalian;
b. komutatif: p x q = q x p;
c. asosiatif
d. distributif perkalian terhadap penjumlahan
e. distributif perkalian terhadap pengurangan
7. Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat p berlaku p x 1 = 1 x p = p.
8. Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.
9. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.
10. Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.
· Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
· Operasi perkalian dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
· Operasi perkalian dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).
SOAL dan PEMBAHASAN :
1. Hasil dari (–12) : 3 + 8 × (–5) adalah…
Pembahasan:
(–12) : 3 + 8 × (–5) = –4 + (–40) = –44
2. Hasil dari −4 + 10 : 2 × (−5) adalah…
Pembahasan:
−4 + 10 : 2 × (−5) = −4 + 5 × (−5)
= −4 – 25
= −29
3. Suhu tempat A adalah 100
C di bawah nol, suhu tempat B adalah 200
C di atas nol, dan suhu tempat C adalah tepat di antara suhu tempat A dan tempat B. Suhu tempat C adalah…
Pembahasan:
100 di bawah nol diartikan – 100, sedangkan 200 di atas nol diartikan + 200. Selisih
antara-100 dengan + 200 adalah 300 karena tempat C di antara tempat A dan B, maka:
300 : 2 = 150. Suhu tempat C adalah –100 + 150= 50.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar